integral de (3x)/(1+x^2) — solución paso a paso

Integremos:

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

Para la expresión matemática

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, sabiendo que (ln(a))' = a'/a, intentamos derivar

\ln (1 + x^{2})

Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

1 + x^{2}

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot 1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (x^{2})}{1 + x^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{1 + x^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, por lo que

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

es una primitiva de

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{3 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2} + C