integral de (3x^2+1)/(2x) — solución paso a paso

Integremos:

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada término del numerador por la potencia del denominador:

\frac{3 x^{2} + 1}{2 x} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2 x}

ⅰ

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

x \neq 0

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int \frac{3 x}{2} d x

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1}{2 x}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

es una primitiva de

\frac{1}{2 x}

\int \frac{1}{2 x} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{3 x^{2}}{4}

■Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1 \cdot \ln | x |}{2}

\frac{\ln | x |}{2}

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2} + C