integral de (5x)/(cos^2(x^2)) — solución paso a paso

Calculemos la integral:

\int \frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}} d x

Para la expresión matemática

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

, sabiendo que (tan(a))' = a'/cos(a)^2, intentamos derivar

\tan (x^{2})

Derivemos:

\frac{d}{d x} (\tan (x^{2}))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\tan (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{{\cos (f)}^{2}}

con f =

x^{2}

ⓘ La derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x^{2}))

\frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \frac{1}{{\cos (x^{2})}^{2}}

\frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot \frac{1}{{\cos (x^{2})}^{2}}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

, por lo que

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

es una primitiva de

\frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}}

\int \frac{5 x}{{\cos (x^{2})}^{2}} d x

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{5}{2} \cdot \tan (x^{2})

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2}

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{5 \cdot \tan (x^{2})}{2} + C