integral de (6ln(4x))/5 — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int \frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5} d x

⇥Sacamos el factor constante

\frac{6}{5}

de la integral. Para

\frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5}

, utilizamos la integración por partes:

\int \frac{6}{5} \cdot u1 \cdot v2' d x = \frac{6}{5} \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

con u1 =

\ln (4 x)

y v2' =

1

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

4 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Calculemos la integral v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Evaluemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Calculemos

\frac{6}{5} \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

\frac{6}{5} \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{6}{5} \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)}{5}

■La derivada de

- x

-1

, por lo que

- x

es una primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - x)}{5}

⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - x)}{5}

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

⇥

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int \frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5} d x

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5} + C