integral de (7x^2+9x+7)/((x^2+1)^2)

1) Integremos:

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

ⓘ Como un cuadrado nunca es negativo,

x^{2} + 1

no se anula ni se factoriza en ℝ

2) Podemos descomponer en fracciones simples:

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A + B x}{x^{2} + 1} + \frac{C + D x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Para encontrar las incógnitas restantes, multiplicamos ambos miembros por el denominador

{(x^{2} + 1)}^{2}

, lo que da:

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + (C + D x)

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + C + D x

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(A + B x) \cdot (x^{2} + 1)

A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

+ C

+ D x

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x x^{2}

x^{3}

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A

+ B x^{3}

+ B x

+ C

+ D x

3) Identificando los distintos términos, obtenemos el sistema de ecuaciones:

[1]:

0 = B

[2]:

7 = A

[3]:

9 = B + D

[4]:

7 = A + C

Solución obtenida [1]:

B = 0

4) Resolvamos para A:

7 = A

[2]

Solución obtenida [2]:

A = 7

5) Resolvamos para D:

9 = B + D

[3] utilizando

B = 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + D

D

Solución encontrada [3]:

D = 9

6) Resolvamos para C:

7 = A + C

[4] donde

A = 7

7 + C = 7

ⓘ Restamos

7

a ambos miembros

C = 7 - 7

ⓘ Partimos de

7

y retrocedemos

7

en la recta numérica, hasta el cero:

7 - 7

0

Solución obtenida [4]:

C = 0

7) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

8) Calculemos la integral:

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

Para la expresión matemática

\frac{7}{x^{2} + 1}

, sabiendo que (arctan(a))' = a'/(a^2 + 1), intentamos derivar

\arctan (x)

9) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

ⓘ La derivada de

\arctan (x)

\frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

\frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{1}{x^{2} + 1}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

Para la expresión matemática

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1}

10) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} + 1

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, por lo que

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

es una primitiva de

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{9 \cdot 1}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

\frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

ⅰ

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)} + C