integral de (ln(y^2))/(3y) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

Para la expresión matemática

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, sabiendo que (a^2)' = 2*a'*a, intentamos derivar

{\ln (y^{2})}^{2}

2) Derivemos:

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

\ln (y^{2})

ⓘ La derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d y} (\ln (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

y^{2}

ⓘ La derivada de

\ln (y)

\frac{1}{y}

\frac{d}{d y} (\ln (y^{2}))

\frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}}

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot 1 \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⓘ La derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

\frac{2 \cdot 2 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{4 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

Simplificamos la fracción

\frac{y}{y^{2}}

por el factor común

y

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{y}

\frac{4 \cdot \ln (y^{2})}{y}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, por lo que

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

es una primitiva de

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1 \cdot {\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12} + C