integral de (sin(x))/((cos(x))^3)

1) Antes de integrar, calculemos:

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ Cuando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

2) Integremos:

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

Para la expresión matemática

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, sabiendo que (a^2)' = 2*a'*a, intentamos derivar

{\tan (x)}^{2}

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

\tan (x)

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

ⓘ La derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

\frac{2 \cdot 1 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

es una primitiva de

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1 \cdot {\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2} + C