integral de (z+3)^4 — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int {(z + 3)}^{4} d z

Para la expresión matemática

{(z + 3)}^{4}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(z + 3)}^{4 + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{4 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

4 + 1

5

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d z} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d z} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

z + 3

ⓘ La derivada de

z^{n}

n z^{n - 1}

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d z} (z + 3)

1 + 0

5 \cdot (1 + 0) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

5 \cdot {(z + 3)}^{4}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

{(z + 3)}^{4}

, por lo que

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

es una primitiva de

{(z + 3)}^{4}

\int {(z + 3)}^{4} d z

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1 \cdot {(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5} + C