integral de cos^2(x/3) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\cos (\frac{x}{3})}^{2} = \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{x}{3})}{2}

ⅰ

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

ⅰ

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

Para la expresión matemática

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (\frac{2 x}{3})

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

\frac{2 x}{3}

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

. La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3})

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1}{2}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot x

es una primitiva de

\frac{1}{2}

\int \frac{1}{2} d x

\frac{1}{2} \cdot x

■La derivada de

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, por lo que

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

es una primitiva de

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

\int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{2}

\frac{x}{2}

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4} + C