integral de e^(-x)/(9e^(-2x)+1)^(3/2)

Calculemos la integral:

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

Hacemos

u = e^{- x}

. Entonces

du = - e^{- x} \cdot dx

, por lo que

e^{- x} \cdot dx = - du

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x = - \int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

Calculemos la integral:

\int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

Buscamos una primitiva de la forma

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

. La regla del cociente y la derivada de la raíz dan

\frac{d}{d u} (\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}) = \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

Este cálculo es válido en cada intervalo real donde

9 u^{2} + 1 > 0

ⓘ La derivada de

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

\frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

, por lo que

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

es una primitiva de

\frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

Sustituimos

u

por

e^{- x}

en la primitiva

ⅰ

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{1}{\sqrt{9 + e^{x \cdot 2}}}

- \frac{1}{\sqrt{9 + e^{x \cdot 2}}}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{1}{\sqrt{e^{2 x} + 9}} + C