integral de ln(10x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \ln (10 x) d x

⇥Para

\ln (10 x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\ln (10 x)

y v2' =

1

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

10 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Integremos v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Calculemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (10 x) \cdot x - \int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

- x

-1

, por lo que

- x

es una primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\ln (10 x) \cdot x - x

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int \ln (10 x) d x

\ln (10 x) \cdot x - x

\ln (10 x) \cdot x - x

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

x \cdot \ln (10 x) - x + C