integral de ln(x)(sqrt(1-(ln(x))^2))/x

⚠ ln(x)(sqrt(1-(ln(x))^2))/x se interpreta como ln(x)*(sqrt(1-(ln(x))^2))/x: utiliza (...)*(...) para una multiplicación, utiliza (...)^(...) para una potencia

1) Calculemos la integral:

\int \frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x} d x

Para la expresión matemática

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

1 - {\ln (x)}^{2}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

\frac{3 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

\ln (x)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

\frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x)) \cdot \ln (x)

\frac{3 \cdot (- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x)) \cdot \ln (x)) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-2)

-6

■La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{-6 \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

-6 \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{-6 \cdot 1 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\frac{-6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\frac{\frac{-6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

\frac{- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

- \frac{\frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

ⓘ Dividir una fracción por

2

equivale a multiplicar su denominador por

2

- \frac{\frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2 x}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2 x}

- \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

- \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

, por lo que

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

es una primitiva de

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\int \frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x} d x

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C