integral de -sin(x)sec(x)tan(x) — solución paso a paso

⚠ -sin(x)sec(x)tan(x) se interpreta como -sin(x)*sec(x)*tan(x): utiliza (...)*(...) para una multiplicación, utiliza (...)^(...) para una potencia

La secante se interpreta como

\sec (u) = \frac{1}{\cos (u)}

, en cada intervalo donde

\cos (u) \neq 0

1) Antes de integrar, calculemos:

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

\frac{- \sin (x) \cdot 1 \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

\frac{- \sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

- \frac{\sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

ⓘ Cuando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

- \frac{\sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- \tan (x) \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- {\tan (x)}^{2}

- {\tan (x)}^{2}

2) Calculemos la integral:

\int (- {\tan (x)}^{2}) d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\tan (x)}^{2} = \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1

ⅰ

\int (- {\tan (x)}^{2}) d x

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

Para la expresión matemática

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

, sabiendo que (tan(a))' = a'/cos(a)^2, intentamos derivar

\tan (x)

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\tan (x))

ⓘ La derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

- \tan (x) - \int (-1) d x

- \tan (x) - \int (-1) d x

ⓘ La derivada de

- (-1 \cdot x)

1

, por lo que

- (-1 \cdot x)

es una primitiva de

1

- \int (-1) d x

- (-1 \cdot x)

- \tan (x) - (-1 \cdot x)

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

- (-1 \cdot x)

x

- \tan (x) + x

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

x - \tan (x) + C