integral de sin^2(x)/2 — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

ⅰ

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

Para la expresión matemática

\frac{\cos (2 x)}{4}

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (2 x)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1}{4}

, por lo que

\frac{1}{4} \cdot x

es una primitiva de

\frac{1}{4}

\int \frac{1}{4} d x

\frac{1}{4} \cdot x

■La derivada de

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

- \frac{\cos (2 x)}{4}

, por lo que

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

es una primitiva de

- \frac{\cos (2 x)}{4}

- \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1}{4} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

\frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{8}

\frac{\sin (2 x)}{8}

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8} + C