integral de sqrt(3x-12) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \sqrt{3 x - 12} d x

Para la expresión matemática

\sqrt{3 x - 12}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

3 x - 12

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x - 12)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{3 \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + 0) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

\frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⅰ

3 \cdot 3

9

\frac{9 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\sqrt{3 x - 12}

, por lo que

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

es una primitiva de

\sqrt{3 x - 12}

\int \sqrt{3 x - 12} d x

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9} + C