integral de t^2e^{-4t} — solución paso a paso

⚠ t^2e^{-4t} se interpreta como t^2e^(-4t): utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

1) Antes de integrar, calculemos:

t^{2} e^{-4 t}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

t^{2} e^{- 4 t}

\frac{t^{2}}{e^{4 t}}

\frac{t^{2}}{e^{4 t}}

2) Integremos:

\int \frac{t^{2}}{e^{4 t}} d t

Una primitiva de

e^{- 4 t}

- \frac{1}{4 e^{4 t}}

. Repetimos la fórmula

\int t^{2} e^{- 4 t} d t = t^{2} \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 t}}) - \int 2 t \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 t}}) d t

3) Integramos por partes, derivando el polinomio e integrando la exponencial. Cada derivación reduce el grado del polinomio hasta obtener una constante

Tras derivar 0 veces, el polinomio es

t^{2}

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{t^{2}}{4})

Tras derivar 1 vez, el polinomio es

2 t

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{2 t}{16})

Tras derivar 2 veces, el polinomio es

2

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{2}{64})

4) La siguiente derivada es nula: sumamos las contribuciones con el mismo denominador, dejando aparte la exponencial:

- \frac{t^{2}}{4} - \frac{2 t}{16} - \frac{2}{64}

\frac{- 16 t^{2} - 4 \cdot 2 t - 2}{64}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 16 t^{2} - 8 t - 2

- (16 t^{2} + 8 t + 2)

- \frac{16 t^{2} + 8 t + 2}{64}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{16 t^{2} + 8 t + 2}{64}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32}

5) Reintroducimos el factor exponencial:

e^{- 4 t} \cdot \frac{- 8 t^{2} - 4 t - 1}{32}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

e^{- 4 t} \cdot \frac{- 8 t^{2} - 4 t - 1}{32}

\frac{e^{- 4 t} \cdot (- 8 t^{2} - 4 t - 1)}{32}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 8 t^{2} - 4 t - 1

- (8 t^{2} + 4 t + 1)

\frac{e^{- 4 t} \cdot (- (8 t^{2} + 4 t + 1))}{32}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

e^{- 4 t} \cdot (- (8 t^{2} + 4 t + 1))

- e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)

- \frac{e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)}{32}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)}{32}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

ⅰ

\int \frac{t^{2}}{e^{4 t}} d t

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}} + C