integral de v(u+v^2)^4 — solución paso a paso

La expresión

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

contiene varias variables: elegimos la variable v para la integración

1) Integremos:

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

Para la expresión matemática

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(u + v^{2})}^{4 + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{4 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

4 + 1

5

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d v} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d v} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

u + v^{2}

ⓘ La derivada de

v^{n}

n v^{n - 1}

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d v} (u + v^{2})

\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})

5 \cdot (\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d v} (u)

0

■La derivada de

v^{n}

n v^{n - 1}

\frac{d}{d v} (v^{2})

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

5 \cdot (0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

■La derivada de

v

1

\frac{d}{d v} (v)

1

5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot 2 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⅰ

5 \cdot 2

10

10 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, por lo que

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

es una primitiva de

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1 \cdot {(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10} + C