integral de x/(1-2x) — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int \frac{x}{1 - 2 x} d x

2) Calculemos el cociente y el resto de

(x)

entre

(- 2 x + 1)

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x$	$\frac{x}{- 2 x}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2} \cdot (- 2 x + 1) = x - \frac{1}{2}$	$x - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{- 2 x + 1}

ⓘ Dividir una fracción por

- 2 x + 1

equivale a multiplicar su denominador por

- 2 x + 1

\frac{\frac{1}{2}}{- 2 x + 1}

\frac{1}{2 \cdot (- 2 x + 1)}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot (- 2 x + 1)}

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}

3) Calculemos la integral:

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}) d x

ⅰ

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}) d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x - \int \frac{1}{2} d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x - \int \frac{1}{2} d x

Hacemos

u = 2 - 4 x

. Entonces

du = - 4 dx

, por lo que

dx = - \frac{du}{4}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x = - \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

2 - 4 x \neq 0

Sustituimos

u

por

2 - 4 x

en la primitiva

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)}

, por lo que

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

es una primitiva de

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

■La derivada de

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{1}{2}

, por lo que

- \frac{1}{2} \cdot x

es una primitiva de

- \frac{1}{2}

- \int \frac{1}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x | - \frac{1}{2} \cdot x

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

\frac{1 \cdot \ln | 2 - 4 x |}{4}

\frac{\ln | 2 - 4 x |}{4}

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{2}

\frac{x}{2}

ⅰ

\int \frac{x}{1 - 2 x} d x

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} - \frac{x}{2}

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} - \frac{x}{2}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{x}{2} - \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} + C