integral de x/((x^2+7)^2) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}} d x

Para la expresión matemática

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(x^{2} + 7)}^{- 2 + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{- 2 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{-1})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} + 7

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

, por lo que

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

es una primitiva de

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

\int \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

- \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)} + C