integral de x^2ln(9x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int x^{2} \cdot \ln (9 x) d x

⇥Para

x^{2} \cdot \ln (9 x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\ln (9 x)

y v2' =

x^{2}

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (9 x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

9 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (9 x))

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

⇥

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

\frac{\frac{d}{d x} (9 x) \cdot 1}{9 x}

\frac{\frac{d}{d x} (9 x)}{9 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 x)

9

⇥

\frac{9}{9 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{9}{9 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Calculemos la integral v2':

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Evaluemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

⇥

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

Finalmente terminamos la integración:

ⅰ

\int x^{2} \cdot \ln (9 x) d x

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9} + C