integral de xln(10x) entre 0 y 1/10 — solución paso a paso

⚠ xln(10x) se interpreta como x*ln(10x): utiliza * para una multiplicación, utiliza ^ para una potencia

1) Integremos:

\int_{0}^{\frac{1}{10}} x \cdot \ln (10 x) d x

⇥Para

x \cdot \ln (10 x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\ln (10 x)

y v2' =

x

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

10 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Calculemos la integral v2':

\int x d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{x^{2}}{2}

⇥1.3) Evaluemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x}{2}

⇥

\frac{x}{2}

⇥1.4) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

⇥

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

⇥

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

Finalmente terminamos la integración:

ⅰ

\int x \cdot \ln (10 x) d x

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

▷

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

El integrando no está definido en

0

: tomamos el límite de la primitiva desde el interior del intervalo

⇥1.5) Evaluemos el límite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

cuando

x \to 0

⁺

⇥ El límite de

x^{2}

0

⁺ cuando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

⇥ El límite de

10 x

es (

10 \cdot 0

)⁺ cuando

x \to 0

⁺

⇥Calculemos:

10 \cdot 0

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

10 \cdot 0

0

⇥

0

⇥ⓘ Es un límite conocido de la función ln

⇥ El límite de

\ln (10 x)

-∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

⇥ El límite de

2 \cdot \ln (10 x)

-∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

⇥ El límite de

2 \cdot \ln (10 x) - 1

-∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥Para

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

, obtenemos la forma indeterminada

0 \cdot -∞

cuando

x

tiende a

0

⇥1.6) Para resolver la indeterminación 0 × ∞, reescribimos el producto

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

como el cociente

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ Un número no nulo dividido por una cantidad que tiende a 0 se hace infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

⇥ El límite de

\frac{1}{x^{2}}

+∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥Para

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

, obtenemos la forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

0

⇥1.7) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

⇥1.8) Derivemos:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

10 x

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x))

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x))

2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (10 x))

■La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{5 x}

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{5 x}

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{5 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{10}{5 x}

\frac{2}{x}

⇥

\frac{2}{x}

⇥1.9) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})

⇥Para

p1

1

q2

x^{2}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥1.10) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (1)

⇥ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (1)

0

⇥

0

⇥1.11) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥1.12) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x^{2}

0

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(x^{2})}^{2}

x^{2 \cdot 2}

⇥

\frac{0 - 2 x}{x^{2 \cdot 2}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 2 x

- 2 x

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

- \frac{2 x}{x^{4}}

⇥ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{2 x}{x^{4}}

- \frac{2}{x^{3}}

⇥

- \frac{2}{x^{3}}

⇥1.13) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})

- \frac{2}{x^{3}}

⇥

- \frac{2}{x^{3}}

⇥Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

⇥

\frac{\frac{2}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{\frac{2}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

⇥

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

⇥

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

- \frac{2 x^{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 x^{2}}{2}

- x^{2}

⇥

- x^{2}

⇥ El límite de

- x^{2}

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

⇥ El límite de

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

⇥El límite de

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

⇥Por tanto, el límite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

2) Evaluemos en el intervalo

[0; \frac{1}{10}]

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 \cdot \frac{1}{10}) - 1)}{4}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

10 \cdot \frac{1}{10}

\frac{10 \cdot 1}{10}

\frac{10}{10}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

10

, su máximo común divisor:

\frac{10}{10}

1

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4}

ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot 0 - 1)}{4}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (0 - 1)}{4}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 1

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (-1)

- {(\frac{1}{10})}^{2}

- \frac{{(\frac{1}{10})}^{2}}{4}

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{10})}^{2}

\frac{1}{10^{2}}

- \frac{\frac{1}{10^{2}}}{4}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

- \frac{\frac{1}{100}}{4}

ⓘ Dividir una fracción por

4

equivale a multiplicar su denominador por

4

- \frac{\frac{1}{100}}{4}

- \frac{1}{100 \cdot 4}

- \frac{1}{100 \cdot 4}

ⅰ

100 \cdot 4

400

▶Integral:

- \frac{1}{400}

3) El valor numérico de:

- \frac{1}{400}

vale:

▷

-0,0025