integral entre 0 y 1 de ln(4x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int_{0}^{1} \ln (4 x) d x

⇥Para

\ln (4 x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\ln (4 x)

y v2' =

1

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

4 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Integremos v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Evaluemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

- x

-1

, por lo que

- x

es una primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\ln (4 x) \cdot x - x

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int \ln (4 x) d x

\ln (4 x) \cdot x - x

▷

\ln (4 x) \cdot x - x

El integrando no está definido en

0

: tomamos el límite de la primitiva desde el interior del intervalo

⇥1.5) Evaluemos el límite de

x \cdot \ln (4 x) - x

cuando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

⇥ El límite de

4 x

es (

4 \cdot 0

)⁺ cuando

x \to 0

⁺

⇥Calculemos:

4 \cdot 0

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

4 \cdot 0

0

⇥

0

⇥ⓘ Es un límite conocido de la función ln

⇥ El límite de

\ln (4 x)

-∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥Para

x \cdot \ln (4 x)

, obtenemos la forma indeterminada

0 \cdot -∞

cuando

x

tiende a

0

⇥1.6) Para resolver la indeterminación 0 × ∞, reescribimos el producto

x \cdot \ln (4 x)

como el cociente

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

⇥ⓘ Un número no nulo dividido por una cantidad que tiende a 0 se hace infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

⇥ El límite de

\frac{1}{x}

+∞

cuando

x \to 0

⁺

⇥Para

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

, obtenemos la forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

0

⇥1.7) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

⇥1.8) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

4 x

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.9) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

⇥Para

p1

1

q2

x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥1.10) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (1)

⇥ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (1)

0

⇥

0

⇥1.11) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.12) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x

0

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 1

1

⇥

\frac{0 - 1}{x^{2}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 1

-1

⇥

- \frac{1}{x^{2}}

⇥1.13) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

- \frac{1}{x^{2}}

⇥

- \frac{1}{x^{2}}

⇥Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

⇥

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

⇥

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1 \cdot x^{2}}{x}

- \frac{x^{2}}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{x^{2}}{x}

- x

⇥

- x

⇥ El límite de

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

⇥El límite de

x \cdot \ln (4 x)

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

⇥Por tanto, el límite de

x \cdot \ln (4 x) - x

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

2) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

1 \cdot \ln (4 \cdot 1) - 1

\ln (4) - 1

ⓘ El logaritmo de una potencia es un múltiplo del logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (4)

\ln (2^{2})

2 \cdot \ln (2)

▶Integral:

2 \cdot \ln (2) - 1

3) El valor numérico de:

2 \cdot \ln (2) - 1

vale:

2 \cdot \approx 0,6931 - 1

\approx 1,3863 - 1

▷

\approx 0,3863