integral entre 0 y 1 de sqrt(x+16) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int_{0}^{1} \sqrt{x + 16} d x

Para la expresión matemática

\sqrt{x + 16}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x + 16

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 16)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\sqrt{x + 16}

, por lo que

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

es una primitiva de

\sqrt{x + 16}

\int \sqrt{x + 16} d x

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

▷

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

3) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

\frac{2 \cdot {(1 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 16

17

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 16

16

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

16^{\frac{3}{2}}

16 \cdot \sqrt{16}

\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 16 \cdot \sqrt{16}}{3}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

17^{\frac{3}{2}}

17 \cdot \sqrt{17}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

\frac{2 \cdot 17 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{32 \cdot 4}{3}

ⅰ

2 \cdot 17

2 \cdot (10 + 7)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 7

20 + 14

34

■

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

▶Integral:

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

4) El valor numérico de:

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

es:

\frac{34 \cdot \approx 4,1231 - 128}{3}

\frac{\approx 140,1856 - 128}{3}

\frac{\approx 12,1856}{3}

▷

\approx 4,0619