integral entre 0 y 1 de x^2(x^3-2)^3

1) Calculemos la integral:

\int_{0}^{1} x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

Hacemos

u = x^{3} - 2

. Entonces

du = 3 x^{2} \cdot dx

, por lo que

x^{2} \cdot dx = \frac{du}{3}

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x = \frac{1}{3} \cdot \int u^{3} d u

Una primitiva de

u^{3}

\frac{u^{4}}{4}

Sustituimos

u

por

x^{3} - 2

en la primitiva

ⅰ

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

▷

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

2) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

\frac{{(1^{3} - 2)}^{4}}{12} - \frac{{(0^{3} - 2)}^{4}}{12}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 2

-1

■Sumar 0 no cambia nada:

0 - 2

-2

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

\frac{{(-1)}^{4}}{12} - \frac{16}{12}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{16}{12}

- \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

- \frac{4}{3}

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

12

, el mínimo común múltiplo de

12

3

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

\frac{1}{12} + \frac{-4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

\frac{1 - 16}{12}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 16

-15

- \frac{15}{12}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

- \frac{15}{12}

- \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}

- \frac{5}{4}

▶Integral:

- \frac{5}{4}

3) El valor numérico de:

- \frac{5}{4}

es:

▷

-1,25