integral entre 0 y 4 de (8t)/((t-5)^2)

1) Calculemos la integral:

\int_{0}^{4} \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

2) Podemos descomponer en fracciones simples:

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{A}{t - 5} + \frac{B}{{(t - 5)}^{2}}

Para encontrar las incógnitas restantes, multiplicamos ambos miembros por el denominador

{(t - 5)}^{2}

, lo que da:

8 t = A \cdot (t - 5) + B

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

A \cdot (t - 5)

A t + A \cdot (-5)

8 t = A t + A \cdot (-5) + B

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

A \cdot (-5)

- 5 A

8 t = A t - 5 A + B

3) Identificando los distintos términos, obtenemos el sistema de ecuaciones:

[1]:

8 = A

[2]:

0 = - 5 A + B

Solución encontrada [1]:

A = 8

4) Resolvamos para B:

0 = - 5 A + B

[2] donde

A = 8

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 8

40

- 40 + B = 0

ⓘ Sumamos

40

a ambos miembros

Solución encontrada [2]:

B = 40

5) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

\frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} = \frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

6) Calculemos la integral:

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

ⅰ

\int (\frac{8}{t - 5} + \frac{40}{{(t - 5)}^{2}}) d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\int \frac{8}{t - 5} d t + \int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

Hacemos

u = t - 5

. Entonces

du = dt

, por lo que

dt = du

\int \frac{8}{t - 5} d t = 8 \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

t - 5 \neq 0

Sustituimos

u

por

t - 5

en la primitiva

Hacemos

u = t - 5

. Entonces

du = dt

, por lo que

dt = du

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t = 40 \cdot \int u^{-2} d u

Aplicamos la regla de las potencias:

\int u^{-2} d u = - u^{-1}

Sustituimos

u

por

t - 5

en la primitiva

La primitiva es válida en cada intervalo donde

t - 5 \neq 0

ⓘ La derivada de

\frac{40}{- t + 5}

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

, por lo que

\frac{40}{- t + 5}

es una primitiva de

\frac{40}{{(t - 5)}^{2}}

\int \frac{40}{{(t - 5)}^{2}} d t

\frac{40}{- t + 5}

ⅰ

\int \frac{8 t}{{(t - 5)}^{2}} d t

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

Extraemos

8

, el máximo común divisor de los coeficientes:

8 \cdot \ln | t - 5 | + \frac{40}{- t + 5}

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{- t + 5})

Factor encontrado:

\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t}

▷

8 \cdot (\ln | t - 5 | + \frac{5}{5 - t})

7) Evaluemos en el intervalo

[0; 4]

8 \cdot (\ln | 4 - 5 | + \frac{5}{5 - 4}) - 8 \cdot (\ln | 0 - 5 | + \frac{5}{5 + 0})

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

5

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 5

-1

■El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 - 4

1

■Sumar 0 no cambia nada:

0 - 5

-5

5 + 0

5

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

5

, su máximo común divisor:

\frac{5}{5}

1

8 \cdot (\ln | -1 | + \frac{5}{1}) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

8 \cdot (\ln | -1 | + 5) - 8 \cdot (\ln | -5 | + 1)

ⓘ La expresión dentro del valor absoluto es negativa o nula, por lo que su valor absoluto es igual a su opuesto:

| -1 |

1

| -5 |

5

■Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

8 \cdot (\ln (1) + 5)

8 \cdot \ln (1) + 40

- 8 \cdot (\ln (5) + 1)

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

8 \cdot \ln (1) + 40 - (8 \cdot \ln (5) + 8)

ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (8 \cdot \ln (5) + 8)

- 8 \cdot \ln (5) - 8

8 \cdot 0

+ 40

- 8 \cdot \ln (5)

- 8

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

8 \cdot 0

0

■Partimos de

40

y retrocedemos

8

en la recta numérica:

40 - 8

32

0 + 32 - 8 \cdot \ln (5)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 32

32

▶Integral:

32 - 8 \cdot \ln (5)

8) El valor numérico de:

32 - 8 \cdot \ln (5)

vale:

32 - 8 \cdot \approx 1,6094

32 - \approx 12,8755

▷

\approx 19,1245