integral entre 0 y 6 de 1/sqrt(x^2+64)

1) Integremos:

\int_{0}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

La derivada de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 64} + x}{\sqrt{x^{2} + 64}}}{x + \sqrt{x^{2} + 64}}

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

ⓘ La derivada de

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

, por lo que

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

es una primitiva de

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}}

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 64}} d x

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

▷

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 64})

2) Evaluemos en el intervalo

[0; 6]

\ln (6 + \sqrt{6^{2} + 64}) - \ln (0 + \sqrt{0^{2} + 64})

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 64

64

0 + \sqrt{64}

\sqrt{64}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{64}

8

ya que

8^{2}

64

\ln (6 + \sqrt{36 + 64}) - \ln (8)

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

36 + 64

100

■El logaritmo de una potencia es un múltiplo del logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

- \ln (8)

- \ln (2^{3})

- 3 \cdot \ln (2)

\ln (6 + \sqrt{100}) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{100}

10

ya que

10^{2}

100

\ln (6 + 10) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Partimos de

6

y avanzamos

10

en la recta numérica:

6 + 10

16

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (16) - 3 \cdot \ln (2)

\ln (\frac{16}{2^{3}})

\ln (\frac{16}{2^{3}})

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

\ln (\frac{16}{8})

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

8

, su máximo común divisor:

\frac{16}{8}

2

▶Integral:

\ln (2)

3) El valor numérico de:

\ln (2)

es:

▷

\approx 0,6931