integral entre 0 y pi/4 de 4sin^2(x)

1) Calculemos la integral:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 4 \cdot {\sin (x)}^{2} d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

Para la expresión matemática

- 2 \cdot \cos (2 x)

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (2 x)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (2 - 2 \cdot \cos (2 x)) d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

- \sin (2 x) + \int 2 d x

ⓘ La derivada de

2 x

2

, por lo que

2 x

es una primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \sin (2 x) + 2 x

3) Evaluemos en el intervalo

[0; \frac{π}{4}]

(2 \cdot \frac{π}{4} - \sin (2 \cdot \frac{π}{4})) - (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{π}{4}

\frac{2 π}{4}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 π}{4}

\frac{π}{2}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0))

- 2 \cdot 0 + \sin (2 \cdot 0)

\frac{π}{2}

- \sin (\frac{π}{2})

- 2 \cdot 0

+ \sin (2 \cdot 0)

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{2}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Un producto con un factor nulo es nulo:

-2 \cdot 0

0

2 \cdot 0

0

\frac{π}{2}

- 1

+ 0

+ \sin (0)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \sin (0)

\sin (0)

■El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (0)

0

\frac{π}{2} - 1 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- 1 + 0

-1

▶Integral:

\frac{π}{2} - 1

4) El valor numérico de:

\frac{π}{2} - 1

vale:

\frac{\approx 3,1416}{2} - 1

\approx 1,5708 - 1

▷

\approx 0,5708