integral entre 0 y pi de -2sin(x)^2 — solución paso a paso

1) Integremos:

\int_{0}^{π} (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int (- 2 \cdot {\sin (x)}^{2}) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

Para la expresión matemática

- \cos (2 x)

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (2 x)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

- \int (1 - \cos (2 x)) d x

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

- (- \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (- \frac{\sin (2 x)}{2} + \int 1 d x)

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

\frac{\sin (2 x)}{2} - \int 1 d x

ⓘ La derivada de

- x

-1

, por lo que

- x

es una primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{\sin (2 x)}{2} - x

3) Evaluemos en el intervalo

[0; π]

(\frac{\sin (2 π)}{2} - π) - (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

ⓘ cos y sin son periódicas de período 2π:

\sin (2 π)

\sin (0)

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0)

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} + 0

\frac{\sin (0)}{2}

- π

- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2}

+ 0

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (0)

0

■Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

- \frac{\sin (0)}{2} + 0

- \frac{\sin (0)}{2}

\frac{0}{2} - π - \frac{\sin (0)}{2}

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (0)

0

0 - π - \frac{0}{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - π

- π

- π + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- π + 0

- π

▶Integral:

- π

4) El valor numérico de:

- π

es:

▷

\approx -3,1416