integral entre 1 y 2 de (x-2)/x^3 — solución paso a paso

Integremos:

\int_{1}^{2} \frac{x - 2}{x^{3}} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada término del numerador por la potencia del denominador:

\frac{x - 2}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}

ⅰ

\int \frac{x - 2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

\int \frac{1}{x^{2}} d x - \int \frac{2}{x^{3}} d x

ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int \frac{1}{x^{2}} d x

\int x^{-2} d x

- x^{-1}

- \frac{1}{x}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{2}{x^{3}} d x

- \int 2 x^{-3} d x

x^{-2}

\frac{1}{x^{2}}

▷

- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Evaluemos en el intervalo

[1; 2]

(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{1})

- \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{1}

\frac{1}{4}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{1^{2}}

+ \frac{1}{1}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{4} - \frac{1}{2}

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■Partimos de

-1

y avanzamos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

- 1 + 1

0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4} + 0

\frac{1 + 2 \cdot (-1)}{4}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

\frac{1 - 2}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 2

-1

▶Integral:

- \frac{1}{4}

El valor numérico de:

- \frac{1}{4}

vale:

▷

-0,25