integral entre 1 y 25 de 2/x — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int_{1}^{25} \frac{2}{x} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

x \neq 0

ⓘ La derivada de

2 \cdot \ln | x |

\frac{2}{x}

, por lo que

2 \cdot \ln | x |

es una primitiva de

\frac{2}{x}

\int \frac{2}{x} d x

2 \cdot \ln | x |

▷

2 \cdot \ln | x |

2) Evaluemos en el intervalo

[1; 25]

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

2 \cdot \ln | 25 | - 2 \cdot \ln | 1 |

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

\ln (\frac{{| 25 |}^{2}}{{| 1 |}^{2}})

ⓘ Se puede eliminar el valor absoluto elevado a una potencia par:

| 25 |

25

| 1 |

1

\ln (\frac{25^{2}}{1^{2}})

ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

25^{2}

25 \cdot 25

625

\ln (625)

ⓘ El logaritmo de una potencia es un múltiplo del logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (625)

\ln (5^{4})

4 \cdot \ln (5)

▶Integral:

4 \cdot \ln (5)

3) El valor numérico de:

4 \cdot \ln (5)

es:

4 \cdot \approx 1,6094

▷

\approx 6,4378