integral entre 2 y 3 de (x^2-4) — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x

ⅰ

\int (x^{2} - 4) d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

\int x^{2} d x - \int 4 d x

ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La derivada de

- 4 x

-4

, por lo que

- 4 x

es una primitiva de

-4

- \int 4 d x

- 4 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 4 x

2) Evaluemos en el intervalo

[2; 3]

(\frac{3^{3}}{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{2^{3}}{3} - 4 \cdot 2)

- \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2

\frac{27}{3}

- 12

- \frac{2^{3}}{3}

+ 4 \cdot 2

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{27}{3}

9

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

9

- 12

- \frac{8}{3}

+ 8

ⓘ Partimos de

9

y retrocedemos

12

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

9 - 12

-3

- 3 - \frac{8}{3} + 8

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- 3 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3}

\frac{3 \cdot (-3) - 8}{3} + 8

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-3)

-9

\frac{- 9 - 8}{3} + 8

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 9 - 8

-17

- \frac{17}{3} + 8

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{17}{3} + 8

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

\frac{- 17 + 8 \cdot 3}{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 3

24

\frac{- 17 + 24}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 17 + 24

7

▶Integral:

\frac{7}{3}

3) El valor numérico de:

\frac{7}{3}

vale:

▷

\approx 2,3333