integral entre -1 y 1 de 3x^2sqrt(x^3+5)

1) Calculemos la integral:

\int_{-1}^{1} 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x

Hacemos

u = x^{3} + 5

. Entonces

du = 3 x^{2} \cdot dx

, por lo que

3 x^{2} \cdot dx = du

\int 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x = \int \sqrt{u} d u

Una primitiva de

\sqrt{u}

\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

Sustituimos

u

por

x^{3} + 5

en la primitiva

ⅰ

\int 3 x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 5} d x

\frac{2 \cdot {(x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

▷

\frac{2 \cdot {(x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

2) Evaluemos en el intervalo

[-1; 1]

\frac{2 \cdot {(1^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {({(-1)}^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 5

6

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(- 1 + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

6^{\frac{3}{2}}

6 \cdot \sqrt{6}

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 1 + 5

4

\frac{2 \cdot 6 \cdot \sqrt{6}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

4^{\frac{3}{2}}

4 \cdot \sqrt{4}

ⅰ

2 \cdot 6

12

\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{3} - \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}}{3}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{3}

4 \cdot \sqrt{6}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

ⅰ

4 \cdot 2

8

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{8 \cdot 2}{3}

ⅰ

8 \cdot 2

16

▶Integral:

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{16}{3}

3) El valor numérico de:

4 \cdot \sqrt{6} - \frac{16}{3}

vale:

4 \cdot \approx 2,4495 - \approx 5,3333

\approx 9,7980 - \approx 5,3333

▷

\approx 4,4646