integral entre -1 y 1 de 4-4x^2 — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int_{-1}^{1} (4 - 4 x^{2}) d x

ⅰ

\int (4 - 4 x^{2}) d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

\int 4 d x - \int 4 x^{2} d x

ⓘ La derivada de

4 x

4

, por lo que

4 x

es una primitiva de

4

\int 4 d x

4 x

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int 4 x^{2} d x

- 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

4 x - 4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{4 x^{3}}{3}

▷

4 x - \frac{4 x^{3}}{3}

2) Evaluemos en el intervalo

[-1; 1]

(4 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{3}}{3}) - (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (4 \cdot (-1) - \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

4

- \frac{4}{3}

- 4 \cdot (-1)

+ \frac{4 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-1)

4

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

4 \cdot (-1)

-4

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3} + 4 - \frac{4}{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

4 - \frac{4}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

\frac{12 - 4}{3} + \frac{3 \cdot 4 - 4}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 4

8

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

\frac{8}{3} + \frac{12 - 4}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 4

8

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{8}{3} + \frac{8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

\frac{8 + 8}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

8 + 8

16

▶Integral:

\frac{16}{3}

3) El valor numérico de:

\frac{16}{3}

vale:

▷

\approx 5,3333