integral entre -1 y 3 de x/(x^2+4) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int_{-1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 4} d x

Para la expresión matemática

\frac{x}{x^{2} + 4}

, sabiendo que (ln(a))' = a'/a, intentamos derivar

\ln (x^{2} + 4)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

x^{2} + 4

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 4))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2} + 4}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 4}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{x^{2} + 4}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{x}{x^{2} + 4}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

es una primitiva de

\frac{x}{x^{2} + 4}

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 4)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

▷

\frac{\ln (x^{2} + 4)}{2}

3) Evaluemos en el intervalo

[-1; 3]

\frac{\ln (3^{2} + 4)}{2} - \frac{\ln ({(-1)}^{2} + 4)}{2}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{\ln (9 + 4)}{2} - \frac{\ln (1 + 4)}{2}

ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

4

en la recta numérica:

9 + 4

13

■Partimos de

1

y avanzamos

4

en la recta numérica:

1 + 4

5

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{\ln (13)}{2} - \frac{\ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

\frac{\ln (13) - \ln (5)}{2}

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (13) - \ln (5)

\ln (\frac{13}{5})

▶Integral:

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

4) El valor numérico de:

\frac{\ln (\frac{13}{5})}{2}

vale:

\frac{\ln (2,6)}{2}

\frac{\approx 0,9555}{2}

▷

\approx 0,4778