integral entre -8 y 0 de (y/8+sqrt(y+9))

1) Integremos:

\int_{-8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

Para la expresión matemática

\sqrt{y + 9}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

y + 9

ⓘ La derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} ({(y + 9)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d y} (y + 9) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d y} (y + 9)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{y + 9}}{2}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}} + \int \frac{y}{8} d y

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{3} \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int \frac{y}{8} d y

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{1 \cdot y^{2}}{8 \cdot 2}

\frac{y^{2}}{16}

▷

\frac{2 \cdot {(y + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{y^{2}}{16}

3) Evaluemos en el intervalo

[-8; 0]

(\frac{0^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 9

9

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

9^{\frac{3}{2}}

9 \cdot \sqrt{9}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{{(-8)}^{2}}{16} + \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3})

- \frac{{(-8)}^{2}}{16} - \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

0

+ \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

- \frac{{(-8)}^{2}}{16}

- \frac{2 \cdot {(- 8 + 9)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

\frac{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{9}}{3}

■La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

- 8 + 9

1

ⅰ

2 \cdot 9

18

\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{64}{16} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}

Simplificamos la fracción

\frac{64}{16}

por el factor común

16

para obtener la nueva expresión:

4

\frac{54}{3} - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{54}{3}

18

18 - 4 - \frac{2}{3}

ⓘ Partimos de

18

y retrocedemos

4

en la recta numérica:

18 - 4

14

14 - \frac{2}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

14 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

\frac{3 \cdot 14 - 2}{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 14

3 \cdot (10 + 4)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 4

30 + 12

42

\frac{42 - 2}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

42 - 2

40

▶Integral:

\frac{40}{3}

4) El valor numérico de:

\frac{40}{3}

vale:

▷

\approx 13,3333