integral entre -infinity y 0 de 1/(6-2x)

Calculemos la integral:

\int_{-∞}^{0} \frac{1}{6 - 2 x} d x

Hacemos

u = 6 - 2 x

. Entonces

du = - 2 dx

, por lo que

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

6 - 2 x \neq 0

Sustituimos

u

por

6 - 2 x

en la primitiva

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

\frac{1}{6 - 2 x}

, por lo que

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

es una primitiva de

\frac{1}{6 - 2 x}

\int \frac{1}{6 - 2 x} d x

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 6 - 2 x |

- \frac{1 \cdot \ln | 6 - 2 x |}{2}

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

▷

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

Como el extremo

-∞

es infinito, tomamos allí el límite de la primitiva

Evaluemos el límite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

cuando

x \to -∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

- 2 x

+∞

cuando

x \to -∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

El límite de

6 - 2 x

+∞

cuando

x \to -∞

ⓘ Es un límite conocido de la función abs

El límite de

| 6 - 2 x |

+∞

cuando

x \to -∞

ⓘ Es un límite conocido de la función ln

El límite de

\ln | 6 - 2 x |

+∞

cuando

x \to -∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande dividida por un número no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

Por tanto, el límite de

- \frac{\ln | 6 - 2 x |}{2}

-∞

cuando

x \to -∞

La integral es el valor de la primitiva en el extremo superior menos el del extremo inferior:

- \frac{\ln (6)}{2}

- (

-∞

) =

+∞

; por tanto, diverge hacia

+∞

▶Integral:

+∞