integral entre -pi y pi de x*sin(2*x)

1) Integremos:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (2 x) d x

⇥Para

x \cdot \sin (2 x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

x

y v2' =

\sin (2 x)

⇥Por tanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Calculemos la integral v2':

\int \sin (2 x) d x

⇥Para obtener la integral conocida de

\sin (u)

, hacemos

u = 2 x

. Entonces

du = 2 dx

, por lo que

dx = \frac{1}{2} \cdot du

⇥Utilizamos

\int \sin (u) d u = - \cos (u)

y luego sustituimos

u = 2 x

⇥ⓘ La derivada de

- \frac{\cos (2 x)}{2}

\sin (2 x)

, por lo que

- \frac{\cos (2 x)}{2}

es una primitiva de

\sin (2 x)

\int \sin (2 x) d x

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥Por tanto,

v2

vale

- \frac{\cos (2 x)}{2}

⇥1.2) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

⇥Para la expresión matemática

\frac{\cos (2 x)}{2}

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (2 x)

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

2 x

⇥ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 \cdot \cos (2 x)

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

\frac{\cos (2 x)}{2}

, por lo que

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

es una primitiva de

\frac{\cos (2 x)}{2}

- \int (- \frac{\cos (2 x)}{2}) d x

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{4}

\frac{\sin (2 x)}{4}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{x \cdot \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥

\frac{2 \cdot (- x \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x)}{4}

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- x)

-2 x

⇥

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int x \cdot \sin (2 x) d x

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

▷

\frac{- 2 x \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x)}{4}

2) Evaluemos en el intervalo

[- π; π]

\frac{\sin (2 π) - 2 π \cdot \cos (2 π)}{4} - \frac{\sin (2 \cdot (- π)) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (2 \cdot (- π))}{4}

ⓘ cos y sin son periódicas de período 2π:

\sin (2 π)

\sin (0)

\cos (2 π)

\cos (0)

\sin (2 \cdot (- π))

\sin (0)

\cos (2 \cdot (- π))

\cos (0)

■Dos signos menos se cancelan:

-2 \cdot (- π)

2 π

\frac{\sin (0) - 2 π \cdot \cos (0)}{4} - \frac{\sin (0) + 2 π \cdot \cos (0)}{4}

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (0)

0

■El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\cos (0)

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

2 π \cdot 1

2 π

\frac{0 - 2 π}{4} - \frac{0 + 2 π}{4}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 2 π

- 2 π

0 + 2 π

2 π

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- \frac{2 π}{4} - \frac{2 π}{4}

- π

▶Integral:

- π

3) El valor numérico de:

- π

es:

▷

\approx -3,1416