integral entre -pi y pi de x*sin(n*x)

La expresión

x \cdot \sin (n x)

contiene varias variables: elegimos la variable x para la integración

El parámetro

n

es real y constante durante la integración. Tratamos primero el caso

n \neq 0

1) Integremos:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (n x) d x

⇥Para

x \cdot \sin (n x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

x

y v2' =

\sin (n x)

⇥Por tanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Integremos v2':

\int \sin (n x) d x

⇥Para la expresión matemática

\sin (n x)

, sabiendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), intentamos derivar

\cos (n x)

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\cos (n x))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

con f =

n x

⇥ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (n x))

- \frac{d}{d x} (n x) \cdot \sin (n x)

⇥

- \frac{d}{d x} (n x) \cdot \sin (n x)

⇥ⓘ Al derivar respecto a

x

n

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (n x)

n \cdot \frac{d}{d x} (x)

n \cdot 1

n

⇥

- n \cdot \sin (n x)

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

\sin (n x)

, por lo que

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

es una primitiva de

\sin (n x)

\int \sin (n x) d x

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

⇥

\frac{1}{- n} \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{1}{- n}

- \frac{1}{n}

⇥

- \frac{1}{n} \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{n} \cdot \cos (n x)

- \frac{1 \cdot \cos (n x)}{n}

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥Por tanto,

v2

vale

- \frac{\cos (n x)}{n}

⇥1.3) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- \frac{\cos (n x)}{n}) - \int (- \frac{\cos (n x)}{n}) d x

⇥Para la expresión matemática

\frac{\cos (n x)}{n}

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (n x)

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (n x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

n x

⇥ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (n x))

\frac{d}{d x} (n x) \cdot \cos (n x)

⇥

\frac{d}{d x} (n x) \cdot \cos (n x)

⇥ⓘ Al derivar respecto a

x

n

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (n x)

n \cdot \frac{d}{d x} (x)

n \cdot 1

n

⇥

n \cdot \cos (n x)

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

\frac{\cos (n x)}{n}

, por lo que

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

es una primitiva de

\frac{\cos (n x)}{n}

- \int (- \frac{\cos (n x)}{n}) d x

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

⇥

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{n \cdot n} \cdot \sin (n x)

\frac{1 \cdot \sin (n x)}{n \cdot n}

\frac{\sin (n x)}{n^{2}}

⇥

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int x \cdot \sin (n x) d x

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

▷

- \frac{x \cdot \cos (n x)}{n} + \frac{\sin (n x)}{n^{2}}

2) Evaluemos en el intervalo

[- π; π]

(\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}) - (\frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} - (\frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}))

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} - (\frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}))

- \frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}} + \frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (n \cdot (- π))}{n^{2}}

+ \frac{- π \cdot \cos (n \cdot (- π))}{n}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

n \cdot (- π)

- n π

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- \frac{\sin (- n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (- n π)}{n}

ⓘ sin es impar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- n π)

- \sin (n π)

■cos es par:

\cos (- x) = \cos (x)

\cos (- n π)

\cos (n π)

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{- \sin (n π)}{n^{2}})

\frac{\sin (n π)}{n^{2}}

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} - \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} - 2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

-2 \cdot \frac{π \cdot \cos (n π)}{n}

\frac{-2 π \cdot \cos (n π)}{n}

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\frac{\sin (n π)}{n^{2}} + \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{\sin (n π)}{n^{2}}

\frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}}

\frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n}

Para

n = 0

, el integrando es idénticamente nulo: la integral vale

0

▶Integral:

{\begin{cases} 0 & si n = 0 \\ \frac{2 \cdot \sin (n π)}{n^{2}} - \frac{2 π \cdot \cos (n π)}{n} & si n \neq 0 \end{cases}