integral entre -pi y pi de x*sin(x/2)

1) Integremos:

\int_{- π}^{π} x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Para

x \cdot \sin (\frac{x}{2})

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

x

y v2' =

\sin (\frac{x}{2})

⇥Por tanto,

u1'

vale

1

⇥1.1) Integremos v2':

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

⇥Para la expresión matemática

\sin (\frac{x}{2})

, sabiendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), intentamos derivar

\cos (\frac{x}{2})

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

con f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

. La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2})

- \frac{1 \cdot \sin (\frac{x}{2})}{2}

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥

- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

\sin (\frac{x}{2})

, por lo que

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

es una primitiva de

\sin (\frac{x}{2})

\int \sin (\frac{x}{2}) d x

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

-2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥Por tanto,

v2

vale

- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥1.3) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x \cdot (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) - \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

⇥Para la expresión matemática

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (\frac{x}{2})

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

\frac{x}{2}

⇥ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{x}{2}))

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

. La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{x}{2})

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{x}{2})

\frac{1 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2}

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥

\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

, por lo que

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

es una primitiva de

2 \cdot \cos (\frac{x}{2})

- \int (- 2 \cdot \cos (\frac{x}{2})) d x

4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

⇥

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int x \cdot \sin (\frac{x}{2}) d x

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

▷

- 2 x \cdot \cos (\frac{x}{2}) + 4 \cdot \sin (\frac{x}{2})

2) Evaluemos en el intervalo

[- π; π]

(4 \cdot \sin (\frac{π}{2}) - 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})) - (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{2}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (\frac{π}{2})

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

4 \cdot 1

4

■El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{2}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\cos (\frac{π}{2})

0

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) - 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2}))

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2}) + 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

4

- 2 π \cdot 0

- 4 \cdot \sin (- \frac{π}{2})

+ 2 \cdot (- π) \cdot \cos (- \frac{π}{2})

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 π \cdot 0

0

■sin es impar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- \frac{π}{2})

- \sin (\frac{π}{2})

■cos es par:

\cos (- x) = \cos (x)

\cos (- \frac{π}{2})

\cos (\frac{π}{2})

■Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- π)

-2 π

4

+ 0

- 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

- 2 π \cdot \cos (\frac{π}{2})

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

-4 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))

■El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{2}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

- \sin (\frac{π}{2})

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

-4 \cdot (-1)

4

■El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

\frac{π}{2}

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\cos (\frac{π}{2})

0

4 + 4 - 2 π \cdot 0

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

4

en la recta numérica:

4 + 4

8

■Un producto con un factor nulo es nulo:

2 π \cdot 0

0

8 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

8 + 0

8

▶Integral:

8