intersecciones con los ejes de f(x)=(2x^2-3x-20)/(x-5)

En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5} = 0

Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - 3 x - 20 = 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 2

b = -3

c = -20

⇥

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-20)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 8 \cdot (-20)

8 \cdot 20

⇥

Δ = 9 + 8 \cdot 20

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 20

160

⇥

Δ = 9 + 160

⇥ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

160

en la recta numérica:

9 + 160

169

⇥

Δ = 169

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{169}

13

ya que

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{3 - 13}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 - 13

-10

⇥

x_{1} = - \frac{10}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{10}{4}

- \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{5}{2}

⇥

x_{1} = - \frac{5}{2}

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{169}

13

ya que

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{3 + 13}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 + 13

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

\frac{16}{4}

4

⇥

x_{2} = 4

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = {- \frac{5}{2}; 4}

⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 5 \neq 0

⇥Condición de definición:

x \neq 5

Para que la expresión

\frac{2 x^{2} - 3 x - 20}{x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

x - 5 \neq 0

Restricciones del dominio:

x \neq 5

La curva corta el eje de abscisas en

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0)}

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

\frac{2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 20}{0 - 5}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

-3 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 - 5

-5

■El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{0 + 0 - 20}{-5}

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥

- \frac{0 + 0 - 20}{5}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0 - 20

-20

■Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-20}{5})

\frac{20}{5}

⇥

\frac{20}{5}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

5

, su máximo común divisor:

\frac{20}{5}

4

⇥

4

▶Intersecciones con los ejes:

{(- \frac{5}{2}; 0); (4; 0); (0; 4)}