intersecciones con los ejes de f(x)=(x-4)/(x^2-12x+32)

En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32} = 0

Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x - 4 = 0

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = 4

⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -12

c = 32

⇥

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

⇥

Δ = 144 - 4 \cdot 32

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

⇥

Δ = 144 - 128

⇥ⓘ Partimos de

144

y retrocedemos

128

en la recta numérica:

144 - 128

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{12 - 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 4

8

⇥

x_{1} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{1} = 4

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{12 + 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 + 4

16

⇥

x_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{2} = 8

⇥Soluciones encontradas:

x \notin {4; 8}

Para que la expresión

\frac{x - 4}{x^{2} - 12 x + 32}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

x^{2} - 12 x + 32 \neq 0

ya se ha resuelto:

x \notin {4; 8}

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {4; 8}

La curva no corta el eje de abscisas

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

\frac{0 - 4}{0^{2} - 12 \cdot 0 + 32}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 4

-4

0 + 32

32

■Un producto con un factor nulo es nulo:

-12 \cdot 0

0

⇥

- \frac{4}{0 + 32}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 32

32

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{32}

- \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4}

- \frac{1}{8}

⇥

- \frac{1}{8}

▶Intersecciones con los ejes:

(0; - \frac{1}{8})