intersecciones con los ejes de f(x)=x^6-7x^3-8

En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥1) Resolvamos en

ℝ

x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0

⇥Hagamos:

X = x^{3}

⇥Podemos reescribir la expresión como:

X^{2} - 7 X - 8 = 0

⇥Dada la forma cuadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -7

c = -8

⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot (-8)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-8)

32

⇥

Δ = 49 + 32

⇥ⓘ Partimos de

49

y avanzamos

32

en la recta numérica:

49 + 32

81

⇥

Δ = 81

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{81}

9

ya que

9^{2}

81

⇥

X_{1} = \frac{7 - 9}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 - 9

-2

⇥

X_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

X_{1} = -1

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{81}

9

ya que

9^{2}

81

⇥

X_{2} = \frac{7 + 9}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 + 9

16

⇥

X_{2} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{16}{2}

8

⇥

X_{2} = 8

⇥Soluciones obtenidas:

X = {-1; 8}

⇥2) Resolvamos para x:

X = x^{3}

donde

X = -1

⇥

x^{3} = -1

⇥Tomamos la raíz:

- \sqrt[3]{1} = -1

. Como la potencia es impar,

x^{3} = -1

tiene una única solución real,

-1

⇥Solución encontrada:

x = -1

⇥3) Resolvamos para x:

X = x^{3}

utilizando

X = 8

⇥

x^{3} = 8

⇥Tomamos la raíz:

\sqrt[3]{8} = 2

. Como la potencia es impar,

x^{3} = 8

tiene una única solución real,

2

⇥Solución obtenida:

x = 2

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

0^{6} - 7 \cdot 0^{3} - 8

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

-7 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 - 8

-8

⇥

0 - 8

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 8

-8

⇥

-8

▶Intersecciones con los ejes:

{(-1; 0); (2; 0); (0; -8)}