inversa de f(x)=1/x-1 — solución paso a paso

1) Sumemos las fracciones:

\frac{1}{x} - 1

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{x} - 1

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

ⓘ Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot x

x

\frac{1 - x}{x}

2) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

- 1 \cdot 0 - 1

-1

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{1 - x}{x}

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{1 - x}{x} = y

⇥2.2) Sumemos las fracciones:

\frac{1 - x}{x} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1 - x}{x} - y

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x}

⇥

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x} = 0

⇥

\frac{1 - x - y x}{x} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥2.2.1) Resolvamos en

ℝ

1 - x - y x = 0

⇥⇥

- x - y x = -1

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = -1

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(- 1 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq -1

⇥⇥

x = - \frac{1}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = - \frac{1}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- \frac{1}{- (1 + y)}

\frac{1}{1 + y}

⇥⇥

x = \frac{1}{1 + y}

⇥⇥Solución obtenida:

x = \frac{1}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 0

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{1}{x + 1}

, con dominio

x \neq -1

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{1}{x + 1}