inversa de f(x)=1+1/(x-3) — solución paso a paso

1) Sumemos las fracciones:

1 + \frac{1}{x - 3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

1 + \frac{1}{x - 3}

\frac{(x - 3) + 1}{x - 3}

\frac{(x - 3) + 1}{x - 3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 + 1

-2

\frac{x - 2}{x - 3}

2) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

- 3 + 2

-1

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{x - 2}{x - 3}

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{x - 2}{x - 3} = y

⇥2.2) Sumemos las fracciones:

\frac{x - 2}{x - 3} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x - 2}{x - 3} - y

\frac{(x - 2) - y \cdot (x - 3)}{x - 3}

⇥

\frac{(x - 2) - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥

\frac{x - 2 - y \cdot (x - 3)}{x - 3} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥2.2.1) Resolvamos en

ℝ

x - 2 - y \cdot (x - 3) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x - 3)

- (y x + y \cdot (-3))

⇥⇥

x - 2 - (y x + y \cdot (-3)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot (-3))

- y \cdot x - y \cdot (-3)

⇥⇥

x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot (-3) = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-3)

3 y

⇥⇥

x

- 2

- y x

+ 3 y = 0

⇥⇥

x - y x = 2 - 3 y

⇥⇥

(1 - y) \cdot x = 2 - 3 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(1 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 1

⇥⇥Solución obtenida:

x = \frac{2 - 3 y}{1 - y}

⇥⇥2.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 3 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 3

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{2 - 3 x}{1 - x}

, con dominio

x \neq 1

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{2 - 3 x}{1 - x}