inversa de f(x)=2+1/(x-4) — solución paso a paso

1) Sumemos las fracciones:

2 + \frac{1}{x - 4}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 + \frac{1}{x - 4}

\frac{2 \cdot (x - 4) + 1}{x - 4}

\frac{2 \cdot (x - 4) + 1}{x - 4}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot (x - 4)

2 x - 8

\frac{2 x - 8 + 1}{x - 4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 + 1

-7

\frac{2 x - 7}{x - 4}

2) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

2 \cdot (-4) + 7

-1

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{2 x - 7}{x - 4}

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{2 x - 7}{x - 4} = y

⇥2.2) Sumemos las fracciones:

\frac{2 x - 7}{x - 4} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 x - 7}{x - 4} - y

\frac{(2 x - 7) - y \cdot (x - 4)}{x - 4}

⇥

\frac{(2 x - 7) - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥

\frac{2 x - 7 - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥2.2.1) Resolvamos en

ℝ

2 x - 7 - y \cdot (x - 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x - 4)

- (y x + y \cdot (-4))

⇥⇥

2 x - 7 - (y x + y \cdot (-4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot (-4))

- y \cdot x - y \cdot (-4)

⇥⇥

2 x

- 7

- y \cdot x

- y \cdot (-4) = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-4)

4 y

⇥⇥

2 x

- 7

- y x

+ 4 y = 0

⇥⇥

2 x - y x = 7 - 4 y

⇥⇥

(2 - y) \cdot x = 7 - 4 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(2 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 2

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{7 - 4 y}{2 - y}

⇥⇥2.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 4 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 4

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{7 - 4 x}{2 - x}

, con dominio

x \neq 2

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{7 - 4 x}{2 - x}