inversa de f(x)=4sqrt(2x+4)-3 — solución paso a paso

La función es estrictamente monótona en

x \geq -2

: tiene una inversa en su imagen

y \geq -3

Aislamos la raíz:

\sqrt{2 x + 4} = \frac{y + 3}{4}

, con

y \geq -3

. Bajo esta condición, elevar al cuadrado da

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

Resolvamos en

ℝ

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

ⓘ Restamos

4

a ambos miembros

2 x = {(\frac{y + 3}{4})}^{2} - 4

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{y + 3}{4})}^{2}

\frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}}

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}} - 4

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} - 4

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(y + 3)}^{2}

(y + 3) \cdot (y + 3)

2 x = \frac{(y + 3) \cdot (y + 3)}{16} - 4

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(y + 3) \cdot (y + 3)

y \cdot y

+ y \cdot 3

+ 3 y

+ 3 \cdot 3

2 x = \frac{y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3}{16} - 4

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

y \cdot y

y^{2}

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

y \cdot 3 + 3 y

6 y

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 3

9

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

ⅰ

\frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

\frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

2 x = \frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

16 \cdot (-4)

- 16 \cdot 4

- (10 + 6) \cdot 4

- (10 \cdot 4 + 6 \cdot 4)

- (40 + 24)

-64

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9 - 64}{16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 - 64

-55

2 x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

x = \frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

ⓘ Dividir una fracción por

2

equivale a multiplicar su denominador por

2

\frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

ⅰ

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Solución encontrada:

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{32}

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32}

, con dominio

x \geq -3

▶Función inversa:

(\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32} para x \geq -3)