inversa de f(x)=6/(5-x) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

0 \cdot 5 - 6 \cdot (-1)

6

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{6}{5 - x}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{6}{5 - x} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{6}{5 - x} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{6}{5 - x} - y

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x}

⇥

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

6 - y \cdot (5 - x) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (5 - x)

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

⇥⇥

6 - (y \cdot 5 + y \cdot (- x)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

- y \cdot 5 - y \cdot (- x)

⇥⇥

6 - y \cdot 5 - y \cdot (- x) = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (- x)

y x

⇥⇥

6 - y \cdot 5 + y x = 0

⇥⇥

y x = - 6 + y \cdot 5

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

y

, que debe ser no nulo:

y \neq 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{5 y - 6}{y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

5 - x \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 5

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{5 x - 6}{x}

, con dominio

x \neq 0

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{5 x - 6}{x}