inversa de f(x)=a^x — solución paso a paso

Una exponencial de base positiva distinta de 1 y exponente afín no constante es estrictamente monótona en ℝ y toma todos los valores estrictamente positivos

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = a^{x}

⇥1) Resolvamos en

ℝ

a^{x} = y

⇥Como el logaritmo solo está definido para números estrictamente positivos y una base igual a 1 siempre da 1, aplicamos la función ln a ambos miembros, siempre que

a > 0

a \neq 1

y > 0

⇥

\ln (a^{x}) = \ln (y)

⇥

x \cdot \ln (a) = \ln (y)

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

\ln (a)

, que debe ser no nulo:

a \neq 1

⇥Solución encontrada:

x = \frac{\ln (y)}{\ln (a)}

⇥2) Resolvamos para a:

a > 0

⇥Solución obtenida:

a > 0

⇥3) Resolvamos para a:

a \neq 1

utilizando

a > 0

⇥Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

⇥

$a$	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$a > 0$		❌	❌	✅	✅	✅
$a \neq 1$		✅	✅	✅	❌	✅
Solución global		❌	❌	✅	❌	✅

⇥La intersección de

a > 0

a \neq 1

a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [

⇥4) Resolvamos para y:

y > 0

⇥Solución encontrada:

y > 0

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}

, con dominio

{x > 0; a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [}

▶Función inversa:

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}