inversa de f(x)=(3x+5)/(x-4) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

3 \cdot (-4) - 5

-17

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{3 x + 5}{x - 4}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{3 x + 5}{x - 4} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{3 x + 5}{x - 4} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{3 x + 5}{x - 4} - y

\frac{(3 x + 5) - y \cdot (x - 4)}{x - 4}

⇥

\frac{(3 x + 5) - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥

\frac{3 x + 5 - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

3 x + 5 - y \cdot (x - 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x - 4)

- (y x + y \cdot (-4))

⇥⇥

3 x + 5 - (y x + y \cdot (-4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot (-4))

- y \cdot x - y \cdot (-4)

⇥⇥

3 x

+ 5

- y \cdot x

- y \cdot (-4) = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-4)

4 y

⇥⇥

3 x

+ 5

- y x

+ 4 y = 0

⇥⇥

3 x - y x = - 5 - 4 y

⇥⇥

(3 - y) \cdot x = - 5 - 4 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(3 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 3

⇥⇥

x = \frac{- 5 - 4 y}{3 - y}

⇥⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 5 - 4 y

- (5 + 4 y)

⇥⇥

x = - \frac{5 + 4 y}{3 - y}

⇥⇥Solución encontrada:

x = - \frac{4 y + 5}{3 - y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 4 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 4

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

- \frac{4 x + 5}{3 - x}

, con dominio

x \neq 3

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

- \frac{4 x + 5}{3 - x}