inversa de f(x)=(4x)/(3-7x) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

4 \cdot 3 - 0 \cdot (-7)

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≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{4 x}{3 - 7 x}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{4 x}{3 - 7 x} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x}

⇥

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

4 x - y \cdot (3 - 7 x) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (3 - 7 x)

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

⇥⇥

4 x - (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

- y \cdot 3 - y \cdot (-7) x

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 - y \cdot (-7) x = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-7)

7 y

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 + 7 y x = 0

⇥⇥

4 x + 7 y x = y \cdot 3

⇥⇥

(4 + 7 y) \cdot x = y \cdot 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(4 + 7 y)

, que debe ser no nulo:

y \neq - \frac{4}{7}

⇥⇥Solución obtenida:

x = \frac{3 y}{7 y + 4}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

3 - 7 x \neq 0

⇥⇥

7 x \neq 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

7

⇥⇥Condición de definición:

x \neq \frac{3}{7}

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{3 x}{7 x + 4}

, con dominio

x \neq - \frac{4}{7}

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{3 x}{7 x + 4}